Математический анализ Примеры

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{3}}$ из $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{3}}$ из $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.2

Умножим на $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.3

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{3}}$ из $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Этап 1.2

Перенесем $t^{\frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Этап 1.3

Умножим $t^{2}$ на $t^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Этап 1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Этап 1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Этап 2

Вынесем $t^{\frac{5}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Этап 3.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.4

Вычтем $5$ из $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.6

Упростим.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 4.7

Умножим $t^{- \frac{5}{3}}$ на $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{5}{3}}$ по $t$ имеет вид $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$