Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} - 25}{x - 5} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} - 25$ на $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			+	$x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 5 x$ .

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$	-	$25$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	+	$5$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$	-	$25$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$	-	$25$
					+	$5 x$	-	$25$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 25$ .

				$x$	+	$5$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$	-	$25$
					-	$5 x$	+	$25$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$5 x$	-	$25$
					-	$5 x$	+	$25$
								$0$

Этап 1.11

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int x + 5 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int 5 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 5 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 5 x + C$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$