Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 2 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.8

Перемножим экспоненты в ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.9

Перепишем $64 \tan^{6} (t)$ в виде ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2 \tan (t)$ из $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2 \tan (t)$ из $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sec (x)$ в виде $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5.2

Применим обратное тождество.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 5.3.2

Объединим.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 5.3.3

Умножим $\csc (t)$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 5.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 5.3.5

Объединим $\cot (t)$ и $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 5.3.6

Сократим выражение $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 5.3.6.2

Вынесем множитель $\cot (t)$ из ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 5.3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 5.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Этап 5.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Этап 6

Поскольку производная $- \csc (t)$ равна $\csc (t) \cot (t)$ , интеграл $\csc (t) \cot (t)$ равен $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ равно $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Этап 9.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Этап 9.1.3

Объединим.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Этап 9.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Этап 9.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.3.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.4

Умножим $\frac{x + 2}{2}$ на $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.6

Перепишем $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.6.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Этап 9.1.5.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Этап 9.1.5.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Этап 9.1.6

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Этап 9.1.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Этап 9.1.7.1.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Этап 9.1.7.2

Разделим $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ на $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Этап 9.1.8

Умножим $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Этап 9.1.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.2

Возведем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в степень $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.3

Возведем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в степень $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6

Перепишем ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ в виде $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в виде ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Этап 9.1.9.6.5

Упростим.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Этап 9.3

Умножим $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Этап 9.4

Перенесем $4$ влево от $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$