Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{2} - 1}{x^{4}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4} d x$

Этап 3

Развернем $(x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{5} + 2 x^{2}) x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{5} x^{- 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{5 - 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.4

Вычтем $4$ из $5$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.5

Упростим.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x + 2 x^{2 - 4} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 3.7

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int x + 2 x^{- 2} - 1 x^{- 4} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 4} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} - - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + 1 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{1}{3 x^{3}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$