Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4} - 4 x^{3} - x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим $x^{4} - 4 x^{3} - x - 6$ на $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 4 x^{3} + 0 + 0$ .

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$
													-	$x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$
													-	$x$	-	$6$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x + \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} (x - 4)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{(- x - 6) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- x - 6) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- x - 6) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- x - 6) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.5.2

Разделим $- x - 6$ на $1$ .

$- x - 6 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$- x - 6 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $A (x - 4)$ на $1$ .

$- x - 6 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x - 6 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$- x - 6 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x - 4))$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4.2.3

Сократим общий множитель.

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4.2.4

Перепишем это выражение.

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.4.2.5

Разделим $B (x (x - 4))$ на $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.6

Умножим $x$ на $x$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.7

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.10

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.10.1

Сократим общий множитель.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Этап 4.1.6.10.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Этап 4.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перенесем $B$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Этап 4.1.7.2

Перенесем $- 4 A$ .

$- x - 6 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $- 4 x B$ .

$- x - 6 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Этап 4.1.7.4

Перенесем $A x$ .

$- x - 6 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 6 = - 4 A$

Этап 4.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$- 6 = - 4 A$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$- 6 = - 4 A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $- 6 = - 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = - 6$ .

$- 4 A = - 6$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $- 4 A = - 6$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 A = - 6$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{3}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 1 = A - 4 B$ на $\frac{3}{2}$ .

$- 1 = (\frac{3}{2}) - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{2} - 4 B = - 1$ .

$\frac{3}{2} - 4 B = - 1$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 B = - 1 - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 B = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 B = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 B = \frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 B = \frac{- 2 - 3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.5.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- 4 B = \frac{- 5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 4 B = \frac{- 5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 B = - \frac{5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 4 B = - \frac{5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3

Разделим каждый член $- 4 B = - \frac{5}{2}$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 4 B = - \frac{5}{2}$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$B = - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{4})$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3.3

Умножим $- \frac{5}{2} (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1 (\frac{5}{2}) \cdot \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3.3.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$B = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3.3.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{5}{2 \cdot 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3.3.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{5}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B + C$ на $\frac{5}{8}$ .

$0 = (\frac{5}{8}) + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = \frac{5}{8} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{8} + C = 0$ .

$\frac{5}{8} + C = 0$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $\frac{5}{8}$ из обеих частей уравнения.

$C = - \frac{5}{8}$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{5}{8}$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.6

Решим систему уравнений.

$C = - \frac{5}{8} B = \frac{5}{8} A = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.7

Перечислим все решения.

$C = - \frac{5}{8}, B = \frac{5}{8}, A = \frac{3}{2}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5.2

Объединим.

$\frac{3 \cdot 1}{2 x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5.5

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Этап 4.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Этап 4.5.7

Умножим $\frac{1}{x - 4}$ на $\frac{5}{8}$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{(x - 4) \cdot 8}$

Этап 4.5.8

Перенесем $8$ влево от $x - 4$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{2 x^{2}} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{5}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{5}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - (\frac{5}{8} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Этап 13

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 13.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 13.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 13.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \frac{5}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \frac{5}{8} (\ln (| u |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5 \ln (| x |)}{8} - \frac{5}{8} \ln (| u |) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5 \ln (| x |)}{8} - \frac{5}{8} \ln (| x - 4 |) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5}{8} \ln (| x |) - \frac{5}{8} \ln (| x - 4 |) + C$