Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 1

Разделим $x^{4} - 1$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 0 + x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									-	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 0 - 1$ .

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
														$0$

Этап 1.11

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int x^{2} + 0 x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int 0 x d x + \int - 1 d x$

Этап 3

Умножим $0$ на $x$ .

$\int x^{2} d x + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Этап 5

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C + \int - 1 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C - x + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $0$ и $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + C - x + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + C$