Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x - 4 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\int \frac{x^{2} (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x - 4) d x$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x - 4) d x$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x - 4) d x$

Этап 2.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x - 4) d x$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x - 4) d x$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x - 4) d x$

Этап 2.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x - 4) d x$

Этап 3

Развернем $x^{\frac{3}{2}} (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 4 d x$

Этап 3.2

Изменим порядок $x^{\frac{3}{2}}$ и $- 4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x - 4 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3.7

Добавим $3$ и $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - 4 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{- 8}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$