Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4} d x$

Этап 1

Разделим $x^{4}$ на $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 0 + 4 x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 0 - 16$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Этап 5

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 16 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $16$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{16}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{8}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$