Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 2 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $4 \tan^{2} (t)$ в виде ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2 \tan (t)$ из $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int {(2 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec (t)$ .

$\int {(2 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $2 (\sec (t))$ .

$\int 2^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 2.2.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\int 8 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 2.2.2.4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Этап 2.2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 8 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Этап 2.2.2.6

Добавим $1$ и $3$ .

$\int 8 \sec^{4} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \sec^{4} (t) d t$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$8 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Этап 4.2

Перепишем ${\sec (t)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$8 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (t)$ в виде $1 + \tan^{2} (t)$ .

$8 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Пусть $u = \tan (t)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \tan (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 6.1.2

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int 1 + u^{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$8 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$8 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$8 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (t)$ .

$8 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$8 (\tan (arcsec (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = 1$ .

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.10

Умножим $\frac{x + 2}{2}$ на $\frac{x - 2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.11

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.12

Перепишем $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.12.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$8 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.1.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))$ .

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3}) + C$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Этап 12.4.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.3

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.10

Умножим $\frac{x + 2}{2}$ на $\frac{x - 2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.11

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.12

Перепишем $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.12.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}^{3}}{3} + C$

Этап 12.5.15

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.1

Перепишем ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}$ в виде $\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.2

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.3

Перепишем ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ в виде ${((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.3.1

Вынесем ${(x + 2)}^{2}$ за скобки.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.3.2

Вынесем ${(x - 2)}^{2}$ за скобки.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) ({(x - 2)}^{2} (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.3.3

Перенесем $x + 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.3.4

Перепишем ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ в виде ${((x + 2) (x - 2))}^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.3.5

Добавим круглые скобки.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x + 2) (x - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.5

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x (x - 2) + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.6.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.8

Умножим $(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.8.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.8.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x^{1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1 + 1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{2} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.9

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.10

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.16.10.1

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.10.2

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $- 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.10.3

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 4)}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 2^{2})}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.16.12

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{2^{3}}}{3} + C$

Этап 12.5.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}}{3} + C$

Этап 12.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Этап 12.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}$ на $\frac{1}{3}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

Этап 12.6.2.2

Умножим $8$ на $3$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{24} + C$

Этап 12.6.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.3.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 (3)} + C$

Этап 12.6.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

Этап 12.6.3.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Этап 12.7

Чтобы записать $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Этап 12.8

Объединим $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Этап 12.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Этап 12.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Этап 12.10.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Этап 12.10.1.3

Вынесем множитель $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ из $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Этап 12.10.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Этап 12.10.3

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x (x - 2) + 2 (x - 2))}{3} + C$

Этап 12.10.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}{3} + C$

Этап 12.10.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Этап 12.10.4

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.4.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Этап 12.10.4.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Этап 12.10.4.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Этап 12.10.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 4)}{3} + C$

Этап 12.10.6

Вычтем $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x \cdot x + 8)}{3} + C$

Этап 12.10.7

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 8)}{3} + C$