Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{100 + x^{2}} d x$

Этап 1

Изменим порядок $100$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 100} d x$

Этап 2

Разделим $x^{3}$ на $x^{2} + 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 + 100 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Этап 2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

$0$

Этап 2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x + \frac{- 100 x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int \frac{- 100 x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x d x + \int - \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 7

Поскольку $100$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $100$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (100 \int \frac{x}{x^{2} + 100} d x)$

Этап 8

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{x}{x^{2} + 100} d x$

Этап 9

Пусть $u = x^{2} + 100$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = x^{2} + 100$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 100$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 100]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [100]$

Этап 9.1.4

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 10.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{- 100}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $- 100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{- 50}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.2.2.4

Разделим $- 50$ на $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 50 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 50 (\ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - 50 \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 50 \ln (| x^{2} + 100 |) + C$