Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

Этап 2.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $27$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

Этап 4

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Этап 6

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 6.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.8

Умножим $\frac{3 + x}{3}$ на $\frac{3 - x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.9

Умножим $3$ на $3$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.10

Перепишем $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(3 + x) (3 - x)$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.10.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.1.12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ в числитель.

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.4.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.4.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.4.4

Перепишем это выражение.

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.6.2

Сократим общий множитель.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Этап 12.6.3

Перепишем это выражение.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$