Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 + \sqrt{t}}{t^{3}} d t$

Этап 1

Вынесем $t^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (4 + \sqrt{t}) {(t^{3})}^{- 1} d t$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(t^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{3 \cdot - 1} d t$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{- 3} d t$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (4 + t^{\frac{1}{2}}) t^{- 3} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2}} t^{- 3} d t$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3} d t$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Этап 4.4

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d t$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d t$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 6}{2}} d t$

Этап 4.6.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{- 5}{2}} d t$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 4 t^{- 3} + t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{- 3}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $t^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 9.2

Перенесем $t^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{5}{2}}$ по $t$ имеет вид $- \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{- 2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Этап 11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$