Математический анализ Примеры

$\int \frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (6 x^{3} - 5) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 x^{3} - 5) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (6 x^{3} - 5) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(6 x^{3} - 5) x^{- 2}$ .

$\int 6 x^{3} x^{- 2} - 5 x^{- 2} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 6 (x^{- 2} x^{3}) - 5 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 6 x^{- 2 + 3} - 5 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.3

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\int 6 x^{1} - 5 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Упростим $6 x^{1}$ .

$\int 6 x - 5 x^{- 2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x d x + \int - 5 x^{- 2} d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x d x + \int - 5 x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 5 x^{- 2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 5 \int x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 5 (- x^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$6 (\frac{1}{2}) x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} - 5 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$3 x^{2} + 5 x^{- 1} + C$