Математический анализ Примеры

$\int \frac{6}{\sqrt{5^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Этап 1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int \frac{6}{\sqrt{25 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 36 x^{2}}} d x$

Этап 3

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Этап 3.2

Перепишем $36 x^{2}$ в виде ${(6 x)}^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{5})$ .

$6 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $6$ .

$\frac{6}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Этап 7.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Этап 7.1.3

Умножим $\arcsin (\frac{u}{5}) + C$ на $1$ .

$\arcsin (\frac{u}{5}) + C$

Этап 7.2

Перепишем $\arcsin (\frac{u}{5}) + C$ в виде $\arcsin (\frac{1}{5} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{5} u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$\arcsin (\frac{1}{5} \cdot 6 x) + C$