Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} 5 \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $- \csc (x)$ равна $\csc (x) \cot (x)$ , интеграл $\csc (x) \cot (x)$ равен $- \csc (x)$ .

$5 (- \csc (x)]_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}})$

Этап 3

Найдем значение $- \csc (x)$ в $\frac{11 π}{6}$ и в $\frac{7 π}{6}$ .

$5 (- \csc (\frac{11 π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$5 (- - \csc (\frac{π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.1.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$5 (- (- 1 \cdot 2) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.1.3

Умножим $- (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 (- - 2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$5 (2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.1.4

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$5 (2 - \csc (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.5

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$5 (2 - 1 \cdot 2)$

Этап 4.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 (2 - 2)$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$5 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $0$ .

$0$