Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{3} + x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.1.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{3} + x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x}$

Этап 1.1.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Этап 1.1.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 1.1.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.2

Разделим $(2 x - 1) (x - 2)$ на $1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5

Развернем $(2 x - 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $A (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Этап 1.1.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Этап 1.1.8

Перенесем $A$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 5 = C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = - 5$ .

$C = - 5$

$2 = A + B$

$2 = A$

Этап 1.3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 2$ .

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = A + B$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $2$ .

$2 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $2 = 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B = 2$ .

$2 + B = 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B = 2 - 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = 0 A = 2 C = - 5$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = 0, A = 2, C = - 5$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{0 x - 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{2}{x} + \frac{(0) \cdot x - 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $0 \cdot x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $0 \cdot x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) - 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x - 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 - 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 \cdot - 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 7.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 (\arctan (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$2 \ln (| x |) - 5 \arctan (x) + C$