Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

Этап 1

Разделим $2 x^{2} - 3 x + 1$ на $3 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 2 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

Этап 1.11

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$