Математический анализ Примеры

$\int \frac{2}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Этап 2

Запишем $7$ как $16$ плюс $- 9$

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 9 - 6 x - x^{2}}} d x$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 6 x + x^{2})}} d x$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2})}} d x$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Этап 4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 3 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 3 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 + x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $3 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 7

Перепишем $2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ в виде $2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $3 + x$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} (3 + x)) + C$