Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

Этап 1.2

Объединим $\frac{x \cdot 3}{2}$ и $e^{- 6 x}$ .

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

Этап 1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 6 x}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{- 6 x}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Этап 4.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Этап 4.3

Объединим $e^{- 6 x}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Этап 6.2

Умножим $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

Этап 8

Пусть $u = - 6 x$ . Тогда $d u = - 6 d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

Этап 9.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Этап 12.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ в виде $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 14.2.2

Объединим $e^{- 6 x}$ и $\frac{x}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 14.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{36}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $- 6 x$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ в числитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ в числитель.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

Этап 16.5.2

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

Этап 16.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

Этап 16.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

Этап 16.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

Этап 16.7

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Этап 16.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Этап 16.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Этап 16.9

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ .

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$