Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Этап 1

Пусть $u = x (x - 1)$ . Тогда $d u = (2 x - 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Этап 1.1.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + x - 1$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$