Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 a}{\sqrt{x}} - \frac{b}{x^{2}} + 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2 a}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $2 a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 a$ из-под знака интеграла.

$2 a \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 a \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 a \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 a \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$2 a \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 a \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $b$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $b$ из-под знака интеграла.

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (b \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int x^{- 2} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $3 c$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 c$ из-под знака интеграла.

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 10

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + 3 c (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + 3 c \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Этап 12.2.2

Объединим $3$ и $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + c \frac{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Этап 12.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + c \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Этап 12.2.4

Объединим $c$ и $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{c (9 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Этап 12.2.5

Перенесем $9$ влево от $c$ .

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{9 c x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{9}{5} c x^{\frac{5}{3}} + C$