Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 5 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.6

Перепишем $25 \tan^{2} (t)$ в виде ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $5 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $5 \tan (t)$ из $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 3.2.2.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 3.2.2.4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Этап 3.2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Этап 3.2.2.6

Добавим $1$ и $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Этап 4

Поскольку $125$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $125$ из-под знака интеграла.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $125$ на $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Этап 5.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Этап 5.3

Перепишем ${\sec (t)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (t)$ в виде $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Этап 7

Пусть $u = \tan (t)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \tan (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 7.1.2

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{5}$ и $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.9

Умножим $- 1$ на $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.10

Умножим $\frac{x + 5}{5}$ на $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.11

Умножим $5$ на $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.12

Перепишем $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.12.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.1.14

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Этап 13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $5$ из $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.4.3

Перепишем это выражение.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Вынесем множитель $3$ из $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.5.2

Сократим общий множитель.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Этап 13.5.3

Перепишем это выражение.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$