Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2} - 11}{x^{4} - 1} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 1.1.1.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Этап 1.1.5

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{((3 x^{2} - 11) (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.8

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.8.2

Разделим $3 x^{2} - 11$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.1.2

Разделим $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.2

Развернем $(A x + B) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.3.2

Умножим $A$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.3.3

Умножим $B$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.4

Развернем $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.5

Объединим противоположные члены в $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.1

Изменим порядок множителей в членах $B x \cdot - 1$ и $B x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.5.2

Добавим $- B x$ и $B x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.5.3

Добавим $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.1.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.1.9.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} - 11 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.3

Перепишем $- 1 (A x^{2})$ в виде $- (A x^{2})$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.4.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.5

Перенесем $- 1$ влево от $A x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.6

Перепишем $- 1 (A x)$ в виде $- (A x)$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.7.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.8

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.6.9

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.7

Объединим противоположные члены в $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.7.1

Добавим $- A x^{2}$ и $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.7.2

Добавим $A x^{3}$ и $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.8

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.8.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.8.2

Разделим $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.10

Умножим $C$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.11

Развернем $(C x^{2} + C) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.12.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.12.1.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.12.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.2

Перенесем $- 1$ влево от $C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.3

Перепишем $- 1 (C x^{2})$ в виде $- (C x^{2})$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.4

Перенесем $- 1$ влево от $C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.12.5

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.13

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.13.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.9.13.2

Разделим $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Этап 1.1.9.14

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Этап 1.1.9.15

Умножим $D$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Этап 1.1.9.16

Развернем $(D x^{2} + D) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Этап 1.1.9.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Этап 1.1.9.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.17.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.17.1.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.17.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17.2

Умножим $D$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Этап 1.1.9.17.3

Умножим $D$ на $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Этап 1.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Перенесем $A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Этап 1.1.10.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Этап 1.1.10.3

Перенесем $- C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Этап 1.1.10.4

Перенесем $- B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Этап 1.1.10.5

Перенесем $C x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Этап 1.1.10.6

Перенесем $- 1 x A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Этап 1.1.10.7

Перенесем $- C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Этап 1.1.10.8

Перенесем $B x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + C + D$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = B - 1 C + D$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + C + D$

Этап 1.2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + C + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + C + D = 0$ .

$A + C + D = 0$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.1.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$A + D = - C$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.1.2.2

Вычтем $D$ из обеих частей уравнения.

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- C - D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + C + D$ на $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.1.2.2

Умножим $C$ на $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $D$ на $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.2.1

Добавим $C$ и $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.2.2.1.2.2

Добавим $D$ и $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3

Решим относительно $C$ в $0 = 2 C + 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 C + 2 D = 0$ .

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2 D$ из обеих частей уравнения.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $2 C = - 2 D$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 C = - 2 D$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 D$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.3.3.3.1.2.4

Разделим $- D$ на $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = - C - D$ на $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $- (- D) - D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.2.1.1.2

Умножим $D$ на $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $D$ из $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.3

Заменим все вхождения $C$ в $3 = B - 1 C + D$ на $- D$ .

$3 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Упростим $B - 1 (- D) + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1.1

Умножим $- 1 (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.4.1.1.2

Умножим $D$ на $1$ .

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.4.1.2

Добавим $D$ и $D$ .

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Этап 1.3.4.5

Заменим все вхождения $C$ в $- 11 = - 1 B - 1 C + D$ на $- D$ .

$- 11 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.4.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1

Упростим $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1.1.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$- 11 = - B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.4.6.1.1.2

Умножим $- 1 (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 11 = - B + 1 D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.4.6.1.1.2.2

Умножим $D$ на $1$ .

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.4.6.1.2

Добавим $D$ и $D$ .

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.5

Решим относительно $B$ в $3 = B + 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B + 2 D = 3$ .

$B + 2 D = 3$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $2 D$ из обеих частей уравнения.

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $B$ на $3 - 2 D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 11 = - B + 2 D$ на $3 - 2 D$ .

$- 11 = - (3 - 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $- (3 - 2 D) + 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 = - 1 \cdot 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.6.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 11 = - 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.6.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.6.2.1.2

Добавим $2 D$ и $2 D$ .

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7

Решим относительно $D$ в $- 11 = - 3 + 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 + 4 D = - 11$ .

$- 3 + 4 D = - 11$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.2

Перенесем все члены без $D$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 D = - 11 + 3$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.2.2

Добавим $- 11$ и $3$ .

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.3

Разделим каждый член $4 D = - 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.1

Разделим каждый член $4 D = - 8$ на $4$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.3.2.1.2

Разделим $D$ на $1$ .

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.3.1

Разделим $- 8$ на $4$ .

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.8

Заменим все вхождения $D$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Заменим все вхождения $D$ в $B = 3 - 2 D$ на $- 2$ .

$B = 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Упростим $3 - 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$B = 3 + 4$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.8.2.1.2

Добавим $3$ и $4$ .

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Этап 1.3.8.3

Заменим все вхождения $D$ в $C = - D$ на $- 2$ .

$C = - (- 2)$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Этап 1.3.8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Этап 1.3.9

Перечислим все решения.

$C = 2, B = 7, D = - 2, A = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{0 x + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $7$ из $0 \cdot x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $0 \cdot x$ .

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.1.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7 (1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.1.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (0 \cdot x) + 7 (1)$ .

$\frac{7 (0 \cdot x + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{7 (0 + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{7 \cdot 1}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 3

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$7 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$7 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$7 (\arctan (x) + C) + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Этап 11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| x - 1 |) + C$