Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} - 8 \csc^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$- 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc^{2} (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- 8 (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $- \cot (x)$ в $\frac{3 π}{4}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- 8 (- \cot (\frac{3 π}{4}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 8 (- \cot (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен во втором квадранте.

$- 8 (- - \cot (\frac{π}{4}) + 1)$

Этап 3.3.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 8 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 8 (- - 1 + 1)$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 8 (1 + 1)$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 8 \cdot 2$

Этап 3.3.6

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- 16$