Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} 2 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\sec (x)$ в $\frac{3 π}{4}$ и в $\frac{- π}{4}$ .

$2 ((\sec (\frac{3 π}{4})) - \sec (\frac{- π}{4}))$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\sec (\frac{3 π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \sec (\frac{π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Этап 4.1.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (- \frac{π}{4}))$

Этап 4.1.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{7 π}{4}))$

Этап 4.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{π}{4}))$

Этап 4.1.5

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$2 \frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$

Этап 4.5

Умножим $2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

Этап 4.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Этап 4.5.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{2}}$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$- 5.65685424 \dots$