Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $\frac{5 π}{4}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{5 π}{4}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.4.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.6

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 5.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 5.3.7.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Этап 5.3.8

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Этап 5.3.8.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Этап 5.3.10

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Этап 5.3.11

Чтобы записать $\sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.3.12

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.14

Изменим порядок множителей в $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.15

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 6.2.4

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$2.82842712 \dots$