Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Этап 1

Применим формулу приведения.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\ln (| \sin (x) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Чтобы записать $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.3.2

Объединим $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Этап 3.2.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Этап 3.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Этап 3.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Этап 3.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Этап 3.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Этап 3.2.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Этап 3.2.9

Вычтем $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ из $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Этап 3.2.10

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Этап 3.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Этап 3.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Этап 3.2.10.2.4

Разделим $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ приблизительно равно $0.70710678$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 3.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Десятичная форма:

$0.15342640 \dots$