Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} x \cos (4 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (4 x)$ .

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (4 x)$ .

$x \frac{\sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (4 x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = π$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{3}$

Этап 4.5

Объединим $4$ и $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x \sin (4 x)}{4}$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Этап 9.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{4 π}{3}$ и в $π$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $4$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} \sin (\frac{4 π}{3})}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{π}{3}$ и $\sin (\frac{4 π}{3})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.3

Перепишем $\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4}$ в виде произведения.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.4

Умножим $\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.6

Объединим $4$ и $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.7.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (π)}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.8

Объединим $\frac{π}{4}$ и $\sin (π)$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.9

Перепишем $\frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4}$ в виде произведения.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - (\frac{π \sin (π)}{4} \cdot \frac{1}{4}) - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.10

Умножим $\frac{π \sin (π)}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.11

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Этап 9.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot \frac{12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.13

Объединим $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} + \frac{- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.15

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - 12 (\frac{1}{16}) (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.16

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{16}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 12}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.17

Сократим общий множитель $- 12$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 (- 3)}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 9.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{π (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.3

Объединим $π$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \cos (\frac{π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.3

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (1 (\frac{1}{2}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \cos (0))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.10

Умножим $- \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + 1 (\frac{3}{4}) \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.10.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.10.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4 \cdot 2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.10.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.11

Чтобы записать $- \frac{π \sqrt{3}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.12.1

Умножим $\frac{π \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.12.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{8} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- π \sqrt{3} \cdot 4 + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.1.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}$ на $\frac{1}{12}$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8 \cdot 12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.3.2

Умножим $8$ на $12$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 π \sqrt{3}$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.5

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.7

Перепишем $- (4 π \sqrt{3} - 3)$ в виде $- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (0)}{16}$

Этап 10.9.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \cdot 0}{16}$

Этап 10.10

Умножим $π$ на $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{0}{16}$

Этап 10.11

Разделим $0$ на $16$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - 0$

Этап 11

Вычтем $0$ из $- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Десятичная форма:

$- 0.19547492 \dots$