Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - \tan (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\ln (| \sec (x) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Этап 5.2.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Этап 5.2.4

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |))$

Этап 5.2.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Этап 5.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |})$

Этап 5.3.2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |})$

Этап 5.3.2.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |})$

Этап 5.3.2.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |})$

Этап 5.3.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |})$

Этап 5.3.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |})$

Этап 5.3.2.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Этап 5.3.2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Этап 5.3.2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Этап 5.3.2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Этап 5.3.2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |})$

Этап 5.3.2.2.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \sqrt{2} |})$

Этап 5.3.2.4

$\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Десятичная форма:

$- 0.13946680 \dots$