Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- \cos (u)$ в $π$ и в $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 8.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 9.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 9.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

Этап 9.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

Этап 9.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Этап 10.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 10.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 10.8

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Этап 10.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 10.9

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 10.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

Этап 10.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{4}$

Этап 10.12

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$