Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \sin (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \sin (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Этап 2.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Этап 2.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 2.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 2.5.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Этап 5.3

Умножим $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ на $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ в $1$ и в $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Этап 8.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Этап 8.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 8.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Этап 8.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Этап 8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 3}{8}$

Этап 8.5

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{8}$

Десятичная форма:

$0.125$