Математический анализ Примеры

$\int \sin^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{2}$ и $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 5

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ на $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{4} d u_{1}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Этап 9

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2})$

Этап 11

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2

Развернем $(1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \int 1 (1 + \cos (u_{2})) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cdot 1 - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.4

Перенесем $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.5

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.6

Умножим $\cos (u_{2})$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2.9

Возведем $\cos (u_{2})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2.10

Возведем $\cos (u_{2})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})) d u_{2}$

Этап 11.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - {\cos (u_{2})}^{1 + 1} d u_{2}$

Этап 11.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.13

Вычтем $\cos (u_{2})$ из $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 11.2.14

Вычтем $\cos^{2} (u_{2})$ из $0$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{16} (\int d u_{2} + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 15

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{2})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Этап 17

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Этап 18

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Этап 19

Пусть $u_{3} = 2 u_{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Пусть $u_{3} = 2 u_{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Дифференцируем $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Этап 19.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $2 u_{2}$ по $u_{2}$ равна $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Этап 19.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 19.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 19.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}))$

Этап 20

Объединим $\cos (u_{3})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}))$

Этап 21

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Этап 22

Интеграл $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ имеет вид $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)))$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим.

$\frac{1}{16} (u_{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 23.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Чтобы записать $u_{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 23.2.2

Объединим $u_{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 23.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2 - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 23.2.4

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 \cdot u_{2} - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 23.2.5

Вычтем $u_{2}$ из $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 24

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Этап 24.2

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.4

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{4}) + C$

Этап 24.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Этап 25

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Этап 25.1.1.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Этап 25.1.2

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{4}) + C$

Этап 25.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Этап 25.5

Умножим $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.5.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{\sin (8 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{16 \cdot 4} + C$

Этап 25.5.2

Умножим $16$ на $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{64} + C$

Этап 26

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$