Математический анализ Примеры

$\int \sin^{7} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\sin^{6} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{6} (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (3)} \sin (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (3)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Этап 6

Развернем ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$- \int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Этап 6.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Этап 6.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Этап 6.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Этап 6.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Этап 6.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Этап 6.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 6.8

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 6.9

Перенесем круглые скобки.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 6.10

Перенесем круглые скобки.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 6.11

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Этап 6.12

Перенесем круглые скобки.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Этап 6.13

Перенесем круглые скобки.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.14

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.15

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.16

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.17

Умножим $3$ на $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.18

Умножим $3$ на $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.19

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.20

Умножим $3$ на $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.21

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.22

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.24

Добавим $2$ и $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.25

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.26

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.27

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Этап 6.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Этап 6.29

Добавим $2$ и $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Этап 6.30

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Этап 6.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Этап 6.32

Добавим $4$ и $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Этап 6.33

Изменим порядок $1$ и $- 3 u^{2}$ .

$- \int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Этап 6.34

Перенесем $1$ .

$- \int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Этап 6.35

Изменим порядок $- 3 u^{2}$ и $3 u^{4}$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Этап 6.36

Перенесем $1$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Этап 6.37

Перенесем $- 3 u^{2}$ .

$- \int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Этап 6.38

Изменим порядок $3 u^{4}$ и $- u^{6}$ .

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 12

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u)$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $u^{7}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Этап 15.2

Упростим.

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- (- \frac{\cos^{7} (x)}{7} + \frac{3 \cos^{5} (x)}{5} - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- (- \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + \frac{3}{5} \cos^{5} (x) - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$