Математический анализ Примеры

$\int \sec^{2} (x) \ln (e^{\tan (x)}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\tan (x)$ из степени.

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \ln (e)) d x$

Этап 1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \cdot 1) d x$

Этап 1.3

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$