Математический анализ Примеры

$\int u^{- 5} (2 - u^{5} + u^{10}) d u$

Этап 1

Развернем $u^{- 5} (2 - u^{5} + u^{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{- 5} (2 - u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{- 5} \cdot 2 + u^{- 5} (- u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.3

Изменим порядок $u^{- 5}$ и $2$ .

$\int 2 \cdot u^{- 5} + u^{- 5} (- u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.4

Изменим порядок $u^{- 5}$ и $- 1$ .

$\int 2 \cdot u^{- 5} - 1 \cdot u^{- 5} u^{5} + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int 2 u^{- 5} - (u^{- 5} u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 u^{- 5} - u^{- 5 + 5} + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.7

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\int 2 u^{- 5} - u^{0} + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 \cdot 1 + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{- 5} u^{10} d u$

Этап 1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{- 5 + 10} d u$

Этап 1.11

Добавим $- 5$ и $10$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{5} d u$

Этап 1.12

Перенесем $- 1$ .

$\int 2 u^{- 5} + u^{5} - 1 d u$

Этап 1.13

Изменим порядок $2 u^{- 5}$ и $u^{5}$ .

$\int u^{5} + 2 u^{- 5} - 1 d u$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{5} d u + \int 2 u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int 2 u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 \int u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 5}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C) + \int - 1 d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $u^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{u^{- 4}}{4} + C) + \int - 1 d u$

Этап 6.2

Перенесем $u^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4 u^{4}} + C) + \int - 1 d u$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4 u^{4}} + C) - u + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{1}{2 u^{4}} - u + C$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{1}{2 u^{4}} - u + C$