Математический анализ Примеры

$\int u^{6} v (2 + u^{7}) d u$

Этап 1

Поскольку $v$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $v$ из-под знака интеграла.

$v \int u^{6} (2 + u^{7}) d u$

Этап 2

Развернем $u^{6} (2 + u^{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v \int u^{6} \cdot 2 + u^{6} u^{7} d u$

Этап 2.2

Изменим порядок $u^{6}$ и $2$ .

$v \int 2 \cdot u^{6} + u^{6} u^{7} d u$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v \int 2 u^{6} + u^{6 + 7} d u$

Этап 2.4

Добавим $6$ и $7$ .

$v \int 2 u^{6} + u^{13} d u$

Этап 2.5

Изменим порядок $2 u^{6}$ и $u^{13}$ .

$v \int u^{13} + 2 u^{6} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$v (\int u^{13} d u + \int 2 u^{6} d u)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{13}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{14} u^{14}$ .

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + \int 2 u^{6} d u)$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + 2 \int u^{6} d u)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$v (\frac{u^{14}}{14} + \frac{2 u^{7}}{7}) + C$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$v (\frac{1}{14} u^{14} + \frac{2}{7} u^{7}) + C$