Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

Этап 1

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 1.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 5$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

Этап 3

Пусть $u = 5 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.6

Перепишем $25 \tan^{2} (t)$ в виде ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.2.2

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Этап 4.2.3

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Этап 4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Этап 4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Этап 5

Поскольку $25$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $25$ из-под знака интеграла.

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Этап 6

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 11

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 12

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Этап 13

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 14

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 15

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $1$ и $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 17.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 18

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 19

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 19.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 20

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 21

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 23

Добавим $1$ и $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 24

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 26

Добавим $2$ и $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 27

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 28

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 29

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 30

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 30.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 31

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 32

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 33

Упростим.

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 34

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 34.2

Добавим $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ и $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 34.3

Объединим $25$ и $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Этап 35

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.1

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{u}{5})$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

Этап 35.2

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.1

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.2

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x + 5}{5}$ и $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.3

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.7

Перепишем $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.5.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.7.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.5.7.3

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.6

Умножим $\frac{x + 10}{5}$ на $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.7

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.8

Перепишем $\frac{(x + 10) x}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.8.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.8.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.8.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.11

Умножим $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.11.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{x + 5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.11.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.12

Объединим $\frac{x + 5}{25}$ и $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.13.1

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.4

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.13.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.3

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.7

Перепишем $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.13.5.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.7.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.5.7.3

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.6

Умножим $\frac{x + 10}{5}$ на $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.7

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.8

Перепишем $\frac{(x + 10) x}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1.13.8.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.8.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.8.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

Этап 36.1.13.10

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Этап 36.1.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Этап 36.1.15

Изменим порядок множителей в $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

Этап 36.1.16

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

Этап 36.2

Чтобы записать $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

Этап 36.3

Объединим $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ и $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

Этап 36.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Этап 36.5

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Этап 36.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

Этап 36.6

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Этап 36.7

Изменим порядок множителей в $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Этап 37

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$