Математический анализ Примеры

$\int t^{2} (t - \frac{2}{t}) d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{2} t + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Этап 1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int t^{2} t^{1} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{2 + 1} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\int t^{3} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Этап 1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int t^{3} - t^{2} \frac{2}{t} d t$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $t$ из $- t^{2}$ .

$\int t^{3} + t (- t) \frac{2}{t} d t$

Этап 1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\int t^{3} + t (- t) \frac{2}{t} d t$

Этап 1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$\int t^{3} - t \cdot 2 d t$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int t^{3} - 2 t d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{3} d t + \int - 2 t d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int - 2 t d t$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4} + C - 2 \int t d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

$\frac{1}{4} t^{4} - 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{- 2}{2} t^{2} + C$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C$

Этап 6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C$

Этап 6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Этап 6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{- 1}{1} t^{2} + C$

Этап 6.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - t^{2} + C$