Математический анализ Примеры

$\int t^{5} - 4 e^{- 10 t} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{5} d t + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{5}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{- 10 t} d t$

Этап 4

Пусть $u = - 10 t$ . Тогда $d u = - 10 d t$ , следовательно $- \frac{1}{10} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - 10 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- 10 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 10 t]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 10$ является константой относительно $t$ , производная $- 10 t$ по $t$ равна $- 10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 10 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 10$ на $1$ .

$- 10$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} \frac{1}{- 10} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} (- \frac{1}{10}) d u$

Этап 5.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int - \frac{e^{u}}{10} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 (- \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{4}{10} \int e^{u} d u$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 (2)}{10} \int e^{u} d u$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} \int e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} (e^{u} + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $- 10 t$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{- 10 t} + C$