Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{4 x^{3}} d x d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x d x$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x x$

Этап 2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{d}{4}$ .

$\frac{x d}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{x d}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x d}{4} \int x^{- 3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 4.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{4} x d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} x d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$\frac{x}{4} d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{x}{4}$ и $d$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{x d}{4}$ на $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x d}{4 (2 x^{2})} + C$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{x d}{8 x^{2}} + C$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x d$ .

$- \frac{x (d)}{8 x^{2}} + C$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{2}$ .

$- \frac{x (d)}{x (8 x)} + C$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x d}{x (8 x)} + C$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{d}{8 x} + C$