Математический анализ Примеры

$\int \frac{\csc (x) \cos (x)}{\sin (x)} d x$

Этап 1

Разделим дроби.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\sin (x)} d x$

Этап 2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} d x$

Этап 3

Перепишем $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{\cos (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) d x$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Этап 4.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} d x$

Этап 5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \cos (x) \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} d x$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 6.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Этап 7

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Этап 8

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

Этап 9

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 10

Поскольку производная $- \csc (x)$ равна $\csc (x) \cot (x)$ , интеграл $\csc (x) \cot (x)$ равен $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$