Математический анализ Примеры

$\int arccot (5 y) d y$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = arccot (5 y)$ и $d v = 1$ .

$arccot (5 y) y - \int y (- \frac{5}{1 + 25 y^{2}}) d y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $y$ и $\frac{5}{1 + 25 y^{2}}$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{y \cdot 5}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 2.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$arccot (5 y) y - - \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$arccot (5 y) y + 1 \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 4.2

Умножим $\int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$ на $1$ .

$arccot (5 y) y + \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Этап 6

Пусть $u = 1 + 25 y^{2}$ . Тогда $d u = 50 y d y$ , следовательно $\frac{1}{50} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 1 + 25 y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $1 + 25 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 25 y^{2}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 25 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Этап 6.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25 y^{2}$ по $y$ равна $25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 25 (2 y)$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $25$ .

$0 + 50 y$

Этап 6.1.4

Добавим $0$ и $50 y$ .

$50 y$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{50} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{50}$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u \cdot 50} d u$

Этап 7.2

Перенесем $50$ влево от $u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{50 u} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{50}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{50}$ из-под знака интеграла.

$arccot (5 y) y + 5 (\frac{1}{50} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{50}$ и $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 (1)}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 25 y^{2}$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| 1 + 25 y^{2} |) + C$