Математический анализ Примеры

$\int e^{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int 2 u e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u e^{u} d u$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 5

Упростим.

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} + C$