Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{y \sqrt{y}} d y d y$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{\frac{1}{2}}} d y d y$

Этап 1.1.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{\frac{1}{2}}} d y d y$

Этап 1.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{y^{1 + \frac{1}{2}}} d y d y$

Этап 1.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d y d y$

Этап 1.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 + 1}{2}}} d y d y$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y d y$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $y^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y d y$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y d y$

Этап 1.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y d y$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 3}{2}} d y d y$

Этап 1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{3}{2}} d y d y$

Этап 2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{3}{2}}$ по $y$ имеет вид $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$(- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C) d y$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $(- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C) d y$ в виде $- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + C$ .

$- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + C$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} d y + C$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y + C$

Этап 3.2.3

Объединим $d$ и $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} y + C$

Этап 3.2.4

Перенесем $2$ влево от $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{y^{\frac{1}{2}}} y + C$

Этап 3.2.5

Объединим $y$ и $\frac{2 d}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y (2 d)}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- \frac{2 \cdot y d}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 3.2.7

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- (2 y d y^{- \frac{1}{2}}) + C$

Этап 3.2.8

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (2 (y^{- \frac{1}{2}} y) d) + C$

Этап 3.2.8.2

Умножим $y^{- \frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- (2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) d) + C$

Этап 3.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 y^{- \frac{1}{2} + 1} d) + C$

Этап 3.2.8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- (2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d) + C$

Этап 3.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} d) + C$

Этап 3.2.8.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$- (2 y^{\frac{1}{2}} d) + C$

Этап 3.2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 y^{\frac{1}{2}} d + C$