Математический анализ Примеры

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Этап 1

Объединим $\frac{l}{n π}$ и $\cos (\frac{n π x}{l})$ .

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{l}{n π}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{l}{n π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Этап 3

Пусть $u = \frac{n π x}{l}$ . Тогда $d u = \frac{π n}{l} d x$ , следовательно $\frac{l}{π n} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \frac{n π x}{l}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{n π}{l}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{n π x}{l}$ по $x$ равна $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

Этап 3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{n π}{l}$ на $1$ .

$\frac{n π}{l}$

Этап 3.1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{π n}{l}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{π n}{l}$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

Этап 4.2

Умножим $\frac{l}{π n}$ на $1$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

Этап 4.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{l}{π n}$ .

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{l}{π n}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{l}{π n}$ из-под знака интеграла.

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{l}{π n}$ на $\frac{l}{n π}$ .

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Этап 6.2

Возведем $l$ в степень $1$ .

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Этап 6.3

Возведем $l$ в степень $1$ .

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Этап 6.6

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

Этап 6.7

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

Этап 6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

Этап 6.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

Этап 6.10

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

Этап 6.11

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Этап 6.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Этап 6.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ и $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$