Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ в виде $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Этап 5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Этап 5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Этап 5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Этап 5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7.1.2

Умножим $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ на $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

Этап 7.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

Этап 9

Перепишем $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ в виде $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$