Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Перепишем $\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}}$ в виде $\frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

Перепишем $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x)$

Этап 6.3

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x)$

Этап 6.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Этап 6.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x)$

Этап 6.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x)$

Этап 6.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x)$

Этап 6.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x))$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Этап 8.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Этап 8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$

Этап 10

Перепишем $\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$ в виде $\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$