Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 4

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = π$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $t$ в $0$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Этап 8.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $0$ и в $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Этап 8.3

Вычтем $\frac{π}{2}$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Этап 9.2

Вычтем $\sin (π)$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Этап 9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 10.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 10.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Этап 10.4

Добавим $- \frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Этап 10.5

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{π}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.78539816 \dots$