Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Этап 1

Поскольку $4 π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4 π$ из-под знака интеграла.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $x$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Этап 6.1.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Этап 6.1.3.2

Добавим $π$ и $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Этап 6.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Этап 6.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Этап 6.3.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Этап 6.3.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Этап 6.3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Этап 6.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Этап 6.3.6

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Этап 6.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Сократим общий множитель.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Этап 6.3.7.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Этап 6.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9

Умножим $4 π \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Объединим $\frac{2 π}{3}$ и $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.3

Объединим $\frac{8 π}{3}$ и $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.9.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Этап 6.3.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$4.55335269 \dots$