Математический анализ Примеры

$\int x^{\frac{1}{3}} {(28 - x)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 28 - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 28 - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $28 - x$ .

$\frac{d}{d x} [28 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $28 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [28] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [28] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int - {(- u_{1} + 28)}^{\frac{1}{3}} {u_{1}}^{2} d u_{1}$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {(- u_{1} + 28)}^{\frac{1}{3}} {u_{1}}^{2} d u_{1}$

Этап 3

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 28$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 28$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- u_{1} + 28$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 28]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $- u_{1} + 28$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- u_{1}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [28]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $28$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $28$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \int - {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- - \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Умножим $\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$ на $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {(- u_{2} + 28)}^{2} d u_{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(- u_{2} + 28)}^{2}$ в виде $(- u_{2} + 28) (- u_{2} + 28)$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} ((- u_{2} + 28) (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2} + 28) + 28 (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28 + 28 (- u_{2} + 28)) d u_{2}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28 + 28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2}) + 28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.8

Перенесем $u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.9

Перенесем круглые скобки.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1 u_{2}) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.10

Перенесем круглые скобки.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot - 1) u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.11

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- u_{2} \cdot 28) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.12

Перенесем $u_{2}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 28 u_{2}) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.13

Перенесем круглые скобки.

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 28) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.14

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 (- u_{2})) + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.15

Перенесем круглые скобки.

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot - 1) u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.16

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{3}} (28 \cdot 28) d u_{2}$

Этап 6.17

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.18

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.19

Умножим ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} \cdot u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.20

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.22

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.24

Добавим $1$ и $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} u_{2} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.25

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} {u_{2}}^{1} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3} + 1} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.27

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{4 + 3}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.29

Добавим $4$ и $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 1 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.30

Умножим $- 1$ на $28$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.31

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1}) + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.32

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.33

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.35

Добавим $1$ и $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 28 \cdot - 1 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.36

Умножим $28$ на $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} u_{2} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.37

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 ({u_{2}}^{\frac{1}{3}} {u_{2}}^{1}) + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.38

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + 1} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.39

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.40

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{1 + 3}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.41

Добавим $1$ и $3$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 28 \cdot 28 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.42

Умножим $28$ на $28$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} - 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.43

Вычтем $28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ из $- 28 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Этап 6.44

Изменим порядок $- 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ и $784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 6.45

Изменим порядок ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ и $784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} + {u_{2}}^{\frac{7}{3}} - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 784 {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $784$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $784$ из-под знака интеграла.

$784 \int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$784 (\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{7}{3}} d u_{2} + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 10

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}}$ .

$784 (\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 11

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C + \int - 56 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $- 56$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 56$ из-под знака интеграла.

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 \int {u_{2}}^{\frac{4}{3}} d u_{2}$

Этап 13

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 (\frac{3}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{3}{7}$ и ${u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ .

$784 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} {u_{2}}^{\frac{10}{3}} + C - 56 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

Этап 14.2

Упростим.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} - 56 \frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Объединим $- 56$ и $\frac{3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7}$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 56 (3 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7} + C$

Этап 14.3.2

Умножим $3$ на $- 56$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 168 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Этап 14.3.3

Вынесем множитель $7$ из $- 168 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7} + C$

Этап 14.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7 (1)} + C$

Этап 14.3.4.2

Сократим общий множитель.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{7 (- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}})}{7 \cdot 1} + C$

Этап 14.3.4.3

Перепишем это выражение.

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}}{1} + C$

Этап 14.3.4.4

Разделим $- 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}}$ на $1$ .

$588 {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {u_{2}}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {u_{2}}^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- u_{1} + 28$ .

$588 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {(- u_{1} + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $28 - x$ .

$588 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{10}{3}}}{10} - 24 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$588 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{10}{3}} - 24 {(- (28 - x) + 28)}^{\frac{7}{3}} + C$